LA FUNCIÓN COBB DOUGLAS

¡¡ HOLA OTRA VEZ BLOGUEROS !!

Después de explicar en  el ultimo post en ingles, introduciendo un poco la función de Cobb Douglas, aquí os dejamos todo el trabajo de investigación que hemos realizado sobre esta maravillosa y fantástica función. 

Pequeña introducción

Las funciones de producción son aquellas que indican el máximo nivel de producción que puede obtenerse dada una combinación específica de factores, es decir, representan la cantidad máxima de un determinado bien que puede ser producida a partir de unos recursos. Muestra lo que es técnicamente viable cuando una empresa produce eficazmente.

Los factores de producción son los bienes que utiliza una empresa en el proceso de producción y podemos dividirlos en distintas categorías:

a.    Trabajo

b.    Capital

c.     Materias primas

El productor puede ser una economía un sector productivo o una determinada industria.

Función Cobb Douglas

En economía, la función Cobb Douglas es una forma de función de producción ampliamente utilizada para representar las relaciones entre un producto y las variaciones de los insumos tecnología, capital y trabajo. Es quizás la función de producción más útil en el ámbito económico debido a su fácil manejo y al cumplimiento de todas aquellas necesidades que los economistas consideran oportunas y deseables.

Se debe su existencia a Paul Douglas y a su amigo matemático Charles Cobb. La función, debe su existencia a la observación empírica de la distribución de la renta nacional total de EEUU entre el capital y el trabajo entre los años 1899 y 1922. De esta observación empírica llegaron a la conclusión de que la distribución de la renta se había mantenido mas o menos contante a lo largo del tiempo (concretamente, el trabajo se llevaba el 70% de las rentas y el capital el 30%). 

Tras esta observación, buscaron una función de producción que mantuviera las participaciones constantes en los valores, de esta manera desarrollaron la función, considerándola como un modo simplificado de obtener el valor de la producción total en función de trabajo y del capital teniendo en cuenta la tecnología usada. 

 La función general que resultó, fue la siguiente:

Donde:

Q= producción total

A= Factor total de productividad. Hace referencia al progreso técnico de los demás factores productivos.

T= trabajo insumo

K= Capital insumo

a y b = elasticidades del producto del trabajo y el capital respectivamente. Son números positivos generalmente menores que 1.

Si a + b = 1 será una función homogénea de grado 1 con rendimiento constante de escala 

El término rendimientos de escala aparece en el contexto de la función de producción de una empresa. Hace referencia a los cambios en la producción que resultan de un cambio proporcional en todos los inputs. Pueden ser rendimientos constantes de escala (RCS), rendimientos decrecientes de escala (RDS) o rendimientos crecientes de escala (RCrS).

Si a + b > 1, la función de producción tendrá RCrS.

Si a + b < 1, la función de producción tendrá RDS.

Representación gráfica en tres dimensiones de una función Cobb-Douglas, siendo representados Q, T y K:

Fuente: http://www.zonaeconomica.com/files/cobb-douglas-ze1.png

Las isocuantas son las curvas de nivel de la función de producción. En la siguiente figura se ilustran tres isocuantas que corresponden a tres niveles de producción diferentes. Cuanto más alejadas del orige, mayor es el nivel de producción que representan.

Son las curvas de nivel de la función de producción. En la siguiente figura se ilustran tres isocuantas que corresponden a tres niveles de producción diferentes. Cuanto más alejadas del orige, mayor es el nivel de producción que representan.

Fuente:

Productividades marginales

La productividad marginal es el cambio en la producción ante cambios en la cantidad de insumos. La productividad marginal es la derivada primera de la función de producción respecto a algún insumo y representan cómo se incrementaría la producción total por incrementos unitarios en la cantidad de trabajo o capital manteniéndose una de las dos variables fijas, Serían:

∂Q/T y ∂Q/∂K.

Si T o K se incrementan, también lo hará la cantidad de producción. Esto significa que el rendimiento marginal de los insumos es positivo por lo que la productividad marginal es positiva.

Gráficamente:

Productividad marginal de T (K está fijo):

Fuente: http://www.zonaeconomica.com/files/cobb-douglas-3.png

Aplicaciones de la función

La función Cobb-Douglas puede ser estimada como una relación lineal 

Se trata de linealizar la función tomando logaritmos neperianos, resultando en nuestro caso:

Ln Q = Ln A + α Ln T + β Ln K

Actualmente algunos expertos expresan dudas sobre la constancia de esta relación a través del tiempo. Ni Cobb, ni Douglas aportaron una razón teórica por la cual los exponentes α y β deberían mantenerse constantes en el tiempo o entre sectores de la economía. Hay que recordar que la naturaleza de la maquinaria y de otros bienes de capital (K) difiere entre períodos y de acuerdo al bien que vaya a producirse. Así también las habilidades o calidades del trabajo (T).

A pesar de las críticas, la función Cobb-Douglas ha sido aplicada en contextos diferentes a la producción. 

Donde x₁ y x₂ son las cantidades consumidas de dos bienes distintos.

Esta gráfica es un ejemplo de la utilización de la función Cobb-Douglas en la representación de una función de utilidad.

Fuente: http://www.enelmargen.org/2011/03/re-inventando-las-funciones-de-utilidad.html

Entre sus diversas aplicaciones, especialmente económicas, encontraríamos el crecimiento de Solow la cual pretende explicar cómo crece la producción nacional de vienes y servicios mediante un modelo cuantitativa y la cual concluye determinando la importancia crucial de la tecnología para el crecimiento continuado. El modelo utiliza la función de producción Cobb-Douglas en la siguiente forma:

También se utiliza con frecuencia en funciones de CES (Elasticidad de sustitución constante), la función de utilidad explicada anteriormente o combinaciones lineales entre otras.